Décroissance exponentielle : un médicament éliminé à Lambaréné

Extrait de la leçon

5. Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

Beaucoup de grandeurs sont multipliées par le même nombre sur des durées égales : une population de bactéries, un capital placé, la masse d'une substance radioactive. On les modélise par une fonction de la forme $N (t) = N_{0} e^{k t}$ où $t$ est le temps, $N_{0} = N (0)$ la valeur initiale et $k$ un réel constant. On vérifie que $N^{'} (t) = k N (t)$ : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente.

Si $k > 0$ : croissance exponentielle. Le temps de doublement $T$ vérifie $e^{k T} = 2$ , donc $T = \frac{\ln 2}{k}$ .
Si $k < 0$ : décroissance exponentielle. On écrit souvent $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ avec $λ > 0$ . La demi-vie (durée au bout de laquelle la moitié de la quantité a disparu) vaut $T = \frac{\ln 2}{λ}$ .

Forme équivalente : $N (t) = N_{0} q^{t}$ avec $q = e^{k}$ . Si la grandeur augmente de $r$ % par unité de temps, alors $q = 1 + \frac{r}{100}$ .

Méthode pour trouver $k$ : on utilise une deuxième mesure. Si $N (t_{1}) = N_{1}$ , alors $e^{k t_{1}} = \frac{N_{1}}{N_{0}}$ , donc $k = \frac{1}{t_{1}} \ln (\frac{N_{1}}{N_{0}})$ .

Exemple. On résout la situation de Nadège : $N (0) = 2 000$ et $N (4) = 6 000$ ( $t$ en heures).

Étape 1 : trouver $k$ . $N (t) = 2 000 e^{k t}$ et $N (4) = 6 000$ donnent $e^{4 k} = \frac{6 000}{2 000} = 3$ , donc $4 k = \ln 3$ et $k = \frac{\ln 3}{4} \approx 0, 275$ .

Étape 2 : population après 10 heures. $N (10) = 2 000 e^{10 \times \frac{\ln 3}{4}} = 2 000 \times 3^{2, 5}$ . Or $3^{2, 5} \approx 15, 59$ , donc $N (10) \approx 31 177$ bactéries.

Étape 3 : quand dépasse-t-on 100 000 ? $2 000 e^{k t} > 100 000 ⟺ e^{k t} > 50 ⟺ k t > \ln 50$ (car $\ln$ est croissante) $⟺ t > \frac{\ln 50}{k} = \frac{4 \ln 50}{\ln 3} \approx 14, 24$ . La culture dépasse 100 000 bactéries après environ 14,24 heures, soit environ 14 h 15 min.

Étape 4 : temps de doublement. $T = \frac{\ln 2}{k} = \frac{4 \ln 2}{\ln 3} \approx 2, 52$ heures, soit environ 2 h 31 min.

Masse radioactive m(t) = 100 e^(−0,1t) : elle est divisée par 2 toutes les t½ = ln 2 / 0,1 ≈ 6,9 ans.

À retenir

Modèle : $N (t) = N_{0} e^{k t}$ , avec $N^{'} (t) = k N (t)$ ; croissance si $k > 0$ , décroissance si $k < 0$ .
Temps de doublement : $T = \frac{\ln 2}{k}$ ; demi-vie : $T = \frac{\ln 2}{λ}$ pour $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ .
On trouve $k$ avec une deuxième mesure : $k = \frac{1}{t_{1}} \ln (\frac{N_{1}}{N_{0}})$ .
Pour trouver un instant, on isole l'exponentielle puis on applique $\ln$ .

À toi de jouer

Une infirmière de Lambaréné explique à un patient qu'on lui a injecté 200 mg d'un médicament, et que son organisme en élimine 30 % chaque heure. La quantité restante au bout de $n$ heures est $Q (n) = 200 \times 0, 7^{n}$ (en mg). Au bout de combien d'heures entières la quantité restante devient-elle inférieure à 10 mg pour la première fois ?

Ex. : 0,75 · 3/4 · 6,0 × 10^-6

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