Suites : la construction en escalier, et la valeur d'un taxi à Libreville

Extrait de la leçon

5. Étude d'une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$

On étudie une suite définie par $u_{0}$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , où $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ . Méthode générale :

Calculer les premiers termes pour se faire une idée (croissance ? valeur limite ?).

Encadrer les termes : montrer par récurrence que, pour tout $n$ , $u_{n}$ appartient à $I$ (souvent un intervalle $[a; b]$ ). Si $f$ est croissante sur $I$ , on utilise que $a \leq u_{n} \leq b$ entraîne $f (a) \leq f (u_{n}) \leq f (b)$ .

Sens de variation : si $f$ est croissante sur $I$ , on montre par récurrence que $u_{n} \leq u_{n + 1}$ (si $u_{0} \leq u_{1}$ ) ou que $u_{n} \geq u_{n + 1}$ (si $u_{0} \geq u_{1}$ ). On peut aussi étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ .

Convergence : on applique le théorème des suites monotones bornées.

Valeur de la limite : si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ appartenant à $I$ et si $f$ est continue en $ℓ$ , alors $ℓ = f (ℓ)$ . On résout cette équation et on garde la solution compatible avec l'encadrement.

Cas particulier $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ (avec $a \neq 1$ ) : on cherche $ℓ$ tel que $ℓ = a ℓ + b$ ; la suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique de raison $a$ . On en déduit $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ .

Exemple. Retour à l'étang de M. Mba. On note $u_{n}$ le nombre de poissons après $n$ mois : $u_{0} = 500$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 300$ (vendre 20 %, c'est multiplier par 0,8). Soit $f (x) = 0, 8 x + 300$ , croissante sur $R$ .

Étape 1 : $u_{1} = 0, 8 \times 500 + 300 = 700$ .

Étape 2 (récurrence) : montrons $P (n)$ : « $0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1 500$ ». Initialisation : $0 \leq 500 \leq 700 \leq 1 500$ , donc $P (0)$ est vraie. Hérédité : on suppose $0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1 500$ pour un $n$ fixé. Comme $f$ est croissante : $f (0) \leq f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1}) \leq f (1 500)$ , soit $300 \leq u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \leq 1 500$ , donc $0 \leq u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \leq 1 500$ : $P (n + 1)$ est vraie. Conclusion : pour tout $n$ , $0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1 500$ .

Étape 3 : $(u_{n})$ est croissante et majorée par 1 500, donc elle converge vers un réel $ℓ$ .

Étape 4 : $f$ est continue, donc $ℓ = 0, 8 ℓ + 300$ , soit $0, 2 ℓ = 300$ et $ℓ = 1 500$ .

Vérification par la suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - 1 500$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1 500 = 0, 8 u_{n} - 1 200 = 0, 8 (u_{n} - 1 500) = 0, 8 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison 0,8 et $v_{0} = 500 - 1 500 = - 1 000$ , donc $u_{n} = 1 500 - 1 000 \times 0, 8^{n}$ . Comme $\lim 0, 8^{n} = 0$ , $\lim u_{n} = 1 500$ .

Réponse : le nombre de poissons se stabilise autour de 1 500.

uₙ₊₁ = √(2uₙ + 3) avec u₀ = 0 : les termes, construits avec la droite y = x, montent vers le point fixe ℓ = 3.

À retenir

Encadrement et monotonie se démontrent par récurrence en utilisant les variations de $f$ .
Si $u_{n} \to ℓ$ et $f$ continue en $ℓ$ , alors $ℓ = f (ℓ)$ .
Pour $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ : poser $v_{n} = u_{n} - ℓ$ avec $ℓ = a ℓ + b$ ; $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .
L'équation $ℓ = f (ℓ)$ donne les limites possibles ; il faut d'abord prouver que la suite converge.

À toi de jouer

À Libreville, M. Moussavou achète un taxi 6 000 000 FCFA. Chaque année, le taxi perd 15 % de sa valeur de l'année précédente. On note $V_{n}$ sa valeur, en FCFA, après $n$ années, avec $V_{0} = 6 000 000$ . Au bout de combien d'années entières la valeur du taxi devient-elle, pour la première fois, inférieure à 2 000 000 FCFA ?

Ex. : 0,75 · 3/4 · 6,0 × 10^-6

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