Demi-vie et datation : du carbone 14 à une clinique de Port-Gentil

Extrait de la leçon

3. La demi-vie et la datation

La demi-vie (ou période radioactive) $t_{1 / 2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés : $N (t_{1 / 2}) = \frac{N_{0}}{2}$ .

En remplaçant dans la loi : $N_{0} e^{- λ t_{1 / 2}} = \frac{N_{0}}{2}$ , donc $e^{- λ t_{1 / 2}} = \frac{1}{2}$ , soit $λ t_{1 / 2} = \ln 2$ . On obtient : $t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ}$ La demi-vie ne dépend pas du nombre de noyaux au départ : elle est propre au nucléide (8 jours environ pour l'iode 131, 5 730 ans pour le carbone 14).

Après n demi-vies ( $t = n t_{1 / 2}$ avec n entier), il reste $N = \frac{N_{0}}{2^{n}}$ noyaux. Par exemple, après 3 demi-vies, il reste $\frac{N_{0}}{8}$ . Si la durée n'est pas un nombre entier de demi-vies, on utilise la loi exponentielle.

Datation au carbone 14 : un organisme vivant (arbre, animal) échange sans cesse du carbone avec son milieu ; la proportion de carbone 14 y reste constante. À sa mort, les échanges s'arrêtent et le carbone 14 se désintègre. En comparant l'activité A d'un échantillon ancien à l'activité $A_{0}$ d'un échantillon vivant de même masse, on obtient l'âge : $t = \frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln (\frac{A_{0}}{A})$

Exemple. Énoncé : lors de fouilles près de Ndjolé, on trouve un morceau de charbon de bois. Pour 1 g de carbone, son activité due au carbone 14 est $A = 0,19 Bq$ . Pour 1 g de carbone d'un bois vivant, l'activité est $A_{0} = 0,23 Bq$ . Demi-vie du carbone 14 : $t_{1 / 2} = 5 730$ ans. Estimer l'âge du charbon.

Résolution : Étape 1 : constante radioactive. $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0,693}{5 730} \approx 1,21 \times 10^{- 4} {an}^{- 1}$ . Étape 2 : on part de $A = A_{0} e^{- λ t}$ , donc $\frac{A_{0}}{A} = e^{λ t}$ et $t = \frac{1}{λ} \ln (\frac{A_{0}}{A})$ . Étape 3 : rapport des activités : $\frac{A_{0}}{A} = \frac{0,23}{0,19} \approx 1,211$ , et $\ln (1,211) \approx 0,191$ . Étape 4 : $t = \frac{5 730}{0,693} \times 0,191 \approx 8 267 \times 0,191 \approx 1,58 \times 10^{3}$ ans. Conclusion : l'arbre dont provient ce charbon est mort il y a environ 1 580 ans. Comme λ est en ${an}^{- 1}$ , le résultat est directement en années.

Carbone 14 (t½ ≈ 5 730 ans) : il reste la moitié des noyaux après t½, le quart après 2 t½. Mesurer la proportion restante permet de dater un échantillon.

À retenir

La demi-vie $t_{1 / 2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés.
$t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ}$ : elle ne dépend pas de $N_{0}$ .
Après n demi-vies (n entier) : $N = \frac{N_{0}}{2^{n}}$ .
Datation : $t = \frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln (\frac{A_{0}}{A})$ , où $A_{0}$ est l'activité d'un échantillon vivant de même masse.

À toi de jouer

Dans une clinique de Port-Gentil, Mme Mboumba, technicienne en imagerie, prépare une dose de technétium 99m dont la demi-vie est de 6 heures. À 6 h du matin, l'activité de la dose est de 640 MBq. Quelle est l'activité de cette dose 30 heures plus tard, en MBq ?

Ex. : 0,75 · 3/4 · 6,0 × 10^-6

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