Charge d'un condensateur : le flash d'une photographe de Lambaréné

On place en série un générateur de tension constante $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé et un interrupteur. À $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Charge. La loi d'additivité des tensions donne $E=Ri+u_C$. Avec $i=C{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}$ : $$RC{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}+u_C=E$$ La solution vérifiant $u_C(0)=0$ est : $$u_C(t)=E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })\text{avec}\tau =RC$$ $\tau$ est la constante de temps du circuit, en secondes ($R$ en ohms, $C$ en farads). L'intensité vaut $i(t)={\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ : elle est maximale à $t=0$ puis tend vers 0.

Décharge. On remplace le générateur par un fil. L'équation devient $RC{\displaystyle \frac{d{u}_C}{dt}}+u_C=0$, d'où $u_C(t)=E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ et $i(t)=-{\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ : le signe « moins » indique que le courant circule en sens inverse.

Repères utiles.

• À $t=\tau$ : le condensateur est chargé à 63 % de $E$ (ou, en décharge, il reste 37 % de la tension initiale).
• À $t=5\tau$ : la charge (ou la décharge) est terminée à plus de 99 %.
• Sur la courbe de charge $u_C(t)$, la tangente à l'origine coupe la droite horizontale $u=E$ à la date $t=\tau$.

Plus $\tau$ est grand, plus la charge est lente : c'est le principe d'une minuterie.

Exemple. Loïc étudie la minuterie : $E=12\text{V}$, $R=10\text{k}\mathrm{\Omega }$, $C=100\mu \text{F}$, condensateur initialement déchargé.

a) Constante de temps : $\tau =RC=10\times {10}^3\times 100\times {10}^{-6}=1,0\text{s}$.

b) Tension à $t=2\text{s}$ : $u_C=12(1-e^{-2})=12\times (1-0,135)=12\times 0,865\approx 10,4\text{V}$.

c) Intensité au moment de la fermeture : $i(0)={\displaystyle \frac{E}{R}}={\displaystyle \frac{12}{10\times {10}^3}}=1,2\times {10}^{-3}\text{A}=1,2\text{mA}$.

d) Durée pratique de la charge : $5\tau =5,0\text{s}$.

e) Énergie stockée en fin de charge : $E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 100\times {10}^{-6}\times {12}^2=7,2\times {10}^{-3}\text{J}$.

f) On décharge ensuite le condensateur dans la même résistance. Après 1 s : $u_C=12e^{-1}=12\times 0,368\approx 4,4\text{V}$.